দুটি কণা যথাক্রমে $12m{s}^{-1}$ ও $20m{s}^{-1}$বেগে $120˚$কোণে ক্রিয়া করে কোন একটি বিন্দুতে অতিক্রম করে। 4s পরে তাদের মধ্যকার দূরত্ব কত হবে?

ব্যাখ্যাঃ

যখন দুটি কণা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে ভিন্ন ভিন্ন বেগে নির্দিষ্ট কোণে চলতে শুরু করে, তখন তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব বৃদ্ধির হার নির্ণয় করার জন্য তাদের আপেক্ষিক বেগ (relative velocity) বের করতে হয়।

ধরা যাক, কণা দুটির বেগ \(\vec{v_1}\) এবং \(\vec{v_2}\)। তাদের বেগের মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\)। এই ক্ষেত্রে, তাদের আপেক্ষিক বেগের (magnitude of relative velocity) মান হবে:

\[v_{আপেক্ষিক} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2 \cos \theta}\]

এখানে প্রদত্ত মানগুলো হলো:

  
• প্রথম কণার বেগ, \(v_1 = 12 \text{ ms}^{-1}\)
  
• দ্বিতীয় কণার বেগ, \(v_2 = 20 \text{ ms}^{-1}\)
  
• বেগের মধ্যবর্তী কোণ, \(\theta = 120^\circ\)
  
• সময়, \(t = 4 \text{ s}\)

এখন, আমরা মানগুলো আপেক্ষিক বেগের সূত্রে বসিয়ে পাই:

\[v_{আপেক্ষিক} = \sqrt{(12)^2 + (20)^2 - 2 \times 12 \times 20 \times \cos 120^\circ}\]

আমরা জানি, \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\)। এই মানটি সূত্রে প্রতিস্থাপন করলে:

\[v_{আপেক্ষিক} = \sqrt{144 + 400 - 2 \times 12 \times 20 \times \left(-\frac{1}{2}\right)}\] \[v_{আপেক্ষিক} = \sqrt{144 + 400 + (12 \times 20)}\] \[v_{আপেক্ষিক} = \sqrt{144 + 400 + 240}\] \[v_{আপেক্ষিক} = \sqrt{784}\] \[v_{আপেক্ষিক} = 28 \text{ ms}^{-1}\]

এখন, \(4\) সেকেন্ড পরে তাদের মধ্যকার দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে। দূরত্ব নির্ণয়ের সূত্র হলো: দূরত্বের = আপেক্ষিক বেগ \(\times\) সময়।

\[দূরত্ব = v_{আপেক্ষিক} \times t\] \[দূরত্ব = 28 \text{ ms}^{-1} \times 4 \text{ s}\] \[দূরত্ব = 112 \text{ m}\]

সুতরাং, \(4\) সেকেন্ড পরে কণা দুটির মধ্যকার দূরত্ব হবে \(112 \text{ m}\)।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

এই ধরণের সমস্যায়, সরাসরি আপেক্ষিক বেগের সূত্র \(v_{rel} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 - 2v_1v_2 \cos \theta}\) প্রয়োগ করে আপেক্ষিক বেগ নির্ণয় করা হয়, তারপর দূরত্ব \(= v_{rel} \times t\) সূত্র ব্যবহার করা হয়। এটিই এই সমস্যার জন্য সবচেয়ে সরাসরি এবং কার্যকর পদ্ধতি।